B級科学者もどきの憂鬱

とある理系になりきれない奴のつれづれなる活動記

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未解決問題らしいけどね

最近、暇なときにこんな問題を考えています。

kを3以上の任意の整数とする。
k項以上の等差数列を含まない無限狭義単調増加正整数列の逆数和は収束するか。

例えば、k=3としてみます。
すると、次のような数列は、どの3つを取っても等差数列になりません。
1,2,4,5,10,11,13,14,28,29,31,32,37, ...

この数列をどうやって作ったかは、三進法表示するとわかります。
1,2,11,12,101,102,111,112,1001,1002,1011,1012,1101, ...
つまり、一の位は1か2で、それ以外の桁は0もしくは1となる数です。
この数列はもちろん無限数列で、逆数和は収束します。

で、これが一般に成り立つかどうかが問題です。
さっぱりわかりません!

ちなみにこれは、数学者エルデシュが予想した、
次の問題の対偶を取ったものです。(文章は多少変えてます)

無限狭義単調増加正整数列{an}の逆数和が発散すれば、
{an}には任意の長さの等差数列が含まれる。

エルデシュはこの問題に3000$の懸賞金を掛けています。
つまり、解いたら約三十万円があなたの物に!

私はこれをたまたま読んだ本で見つけて、
面白そうだなーと思ってやってみてるだけなので、
どこに問い合わせれば賞金がもらえるのかとか全然知りません。
解けた人は問い合わせ先とか自分で調べてください。

私は今は、アルゴリズム的解法が行き詰ったので、
図形的解釈などの路線を探っているところです。

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まとめ

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